BARISAN DAN DERET
BARISAN DAN DERET
Nilai q = 3
Atau sebagai:
Atau sebagai:
maka untuk menentukan nilai rndapat menggunakan limit yaitu:
Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan Un . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, Un = f(n).
Misalkan Un = (2n + 1), maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U4 = (2(4) + 1) = 9.
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut
bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U1, U2, U3, …, Un yang dinyatakan
dalam fungsi f(n) = Un f(n) = Un memiliki deret sebagai:
1. BARIS ARITMATIKA
Baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui
penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku - suku
yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:
Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:
b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui
dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b).
rumusannya berikut ini:
Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan selisih antar sukunya (b), maka nilai
k = 1 dan nilai U_n adalah:
2. DERET ARITMATIKA
Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika.
Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung
sebagai:
Atau sebagai:
Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai
deret aritmatikanya adalah:
Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:
Sehingga diperoleh :
3. SISIPAN
Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku
pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan
bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika
dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah
suku q + 2 dan diurut berupa:
pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan
bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika
dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah
suku q + 2 dan diurut berupa:
a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)
Diketahui bahwa suku terakhir:
(a + (q+1)b) = p
Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:
Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan
aritmatikanya adalah:
Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9
4. SUKU TENGAH
Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku
tengah baris aritmatika adalah suku ke -
.
Jika diselesaikan dalam rumus :
.Jika diselesaikan dalam rumus :
, maka nilai suku tengah didapatkan:
1. BARISAN GEOMETRI
Baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian
dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku
sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:
Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan
mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r).
Rumusannya berikut ini:
Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama U_k = a dan rasio antar sukunya (r), maka
nilai k = 1 dan nilai U_n adalah:
2. DERET GEOMETRI
penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku
petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:
Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai Un adalah suku ke-n, maka nilai
deret aritmatikanya adalah:
dengan syarat 0 < r < 1.
Atau:
dengan syarat r > 1.
Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama
dengan deret aritmatika yaitu:
3. SISIPAN
Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama
(a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan
tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki
rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan
menjadi:
a, ar, ar2, ar3, …,arq, ar(q+1)
Dimana suku terakhir tersebut:
ar(q+1) = p
Sehingga nilai r dapat ditentukan sebagai:
1. DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga.
Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana
, maka deret ini dapat
, maka deret ini dapat
dijumlah menjadi:
Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen.
Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya
menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika
penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat
diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:
Dimana terdapat unsur rn didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika
,
dengan syarat -1 < r < 1.
Dan:
dengan syarat r < -1 atau r > 1.
Kemudian hasil limit rn tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:
dengan syarat -1 < r < 1 .
Dan:
dengan syarat r < -1 atau r > 1.
Komentar
Posting Komentar