ELEMEN & HIMPUNAN DAN BILANGAN

ELEMEN DAN HIMPUNAN

         A.    PENGERTIAN 

 v      Elemen atau anggota dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu yang membentuk himpunan itu.

 v       Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan. Dari defi nisi tersebut, dapat diketahui objek yang termasuk anggota himpunan atau bukan.

Contoh himpunan:

             • Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya 
               adalah merah, kuning, dan hijau.

             • Himpunan bilangan prima kurang dari 10, anggota himpunannya 
               adalah 2, 3, 5, dan 7.

Contoh bukan himpunan:
             • Kumpulan baju-baju bagus.
             • Kumpulan makanan enak.

                         Penulisan A = {1, 2, 3, 4} berarti bahwa elemen-elemen 
                         himpunan A adalah bilangan 1, 2, 3 dan 4. Himpunan 
                         elemen-elemen A, misalnya {1, 2}, merupakan subset  A. 

                         Himpunan itu sendiri dapat merupakan elemen. Misalnya ada 
                         himpunan B = {1, 2, {3, 4}}. Elemen-elemen B bukan 1, 2, 3, dan 4. 
                         Melainkan,  hanya ada tig elemen B, yaitu bilangan 1 dan 2, dan 
                         himpunan {3, 4}. 

                         Elemen-elemen suatu himpunan dapat berupa apa saja. 
                         Misalnya, C = { merah, hijau, biru }, adalah suatu himpunan yang 
                         elemen-elemennya adalah warna-warna merah, hijau dan biru.

B.    JENIS – JENIS HIMPUNAN 

    1.    Himpunan Bagian (Subset).

  Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian (subset)  dari  himpunan B 
   ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

   o   Syarat :

          1.    A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B

          2.    A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B

          3.    B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

          4.    B  ⊂  A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A

       Contoh :

       Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

       Sebab  setiap elemen  dalam  B merupakan elemen  dalam 
       A,  tetapi tidak sebaliknya.

       Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai 
                             unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B. 
                             artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

    2.    Himpunan Kosong (Nullset)

  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur 
   anggota yang sama sama sekali.

   o   Syarat : Himpunan kosong = A atau { } 

                          himpunan kosong tidak boleh di nyatakan 
                                dengan { 0 }.

                          Sebab : { 0 } ≠ { }

     3.    Himpunan Semesta

   Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” 
    (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota 
    yang dibicarakan atau kata lainnya himpunan dari objek yang sedang    
    dibicarakan.

     4.    Himpunan Sama (Equal)

    Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan 
      B, begitu pula sebaliknya. Dinotasikan dengan A=B

             o   Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

       Contoh :

       A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

       Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah 
                             himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota 
                             himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan 
                             memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

      5.    Himpunan Lepas

    Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya 
    tidak ada yang sama. 

      6.    Himpunan Komplemen (Complement set)

    Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . 
    Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan 
    A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan 
    komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. 

                 o   AC = {x│x Є U, x Є A}

  

                        7.   Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

     Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama 
     banyak dengan himpunan lain.

              o  Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan 
                                              notasi n (A) A ≈ B 

       Contoh : A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

                       B = {  r,s,t,u   } →n (B) = 4

                       Maka n (A) =n (B) →A≈B

       Penjelasan: himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari 
                            himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 
                            4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

C.    CARA PENULISAN HIMPUNAN 

            Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu :

     1.    Tabulasi, Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang 
    diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara 
    setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.. 

    Contoh :  A = {a, i, u, e, o}

      2.    Deskripsi, menyebutkan syarat anggota-anggotanya

     Contoh :  ambil bilangan asli kurang dari 5

         A = bilangan asli kurang dari 5

      3.    Notasi Pembentukan Himpunan, dengan menuliskan ciri-ciri umum 
     atau sifat - sifat umum (role) dari anggotanya.

      4.    Diagram Venn, ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris 
      bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan 
      dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam 
      segiempat tersebut.

D.    OPERASI PADA HIMPUNAN 

             1.    Gabungan

                        Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan 

                  yang setiap merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. 

                  A gabungan B ditulis A ∪B = {x | x ∈A atau x ∈B}

              Contohnya : A = {1, 2, 3, 4, 5}

         B = {2, 3, 5, 7, 11}

         A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

              2.    Irisan

                         Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan 

                   yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A 

                   dan anggota himpunan B.

                          Contoh : A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}                          
               irisan himpunan A dan B adalah b dan c atau ditulis dengan : 
             A ∩ B = {b, c}

                 A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B. Dengan diagram 
                   Venn A ∩ B  bisa dinyatakan seperti pada Gambar berikut ini :   

     

              3.    Komplemen Himpunan 

                               Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah 

                         himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan 

                        anggota A. 

                   Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}

                       Contohnya : A   = {1, 2, … , 5}

                 S   = {biangan Asli kurang dari 10}

                 Ac = {6, 7, 8, 9}

    

                     4.    Selisih

                                Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya 

                          merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. 

                          Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B
                    terhadap himpunan A. 
                    Selisih B ditulis A-B = {x | x ∈ A atau x Ï B}

                     Contohnya : A     = {1, 2, 3, 4, 5}

                   B     = {2, 3, 5, 7, 11}

                  A-B  = {1, 4}

E.     HIMPUNAN PENYELASAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL ( SPLDV )

            1.  Metode Grafik 

                       Wajib menggambar masing-masing persamaan linear dua variabel 

                  dalam koordinat kartesius. Himpunan penyelesaiannya yaitu titik 

                  potong dari kedua garis.

      2.    Metode Substitusi 

                            Langkah-langkah dengan menggunakan metode substitusi untuk 
          mencari himpunan penyelesaian dari SPLDV, yaitu :

         1.    Ubahlah salah satu persamaan ke dalam bentuk x = … atau y = …

         2.    Masukkan (substitusi) nilai x atau y yang di dapat ke dalam 
              persamaan yang kedua.

         3.    Nilai x atau y yang di dapat lalu kemudian disubstitusikan ke 
              dalam salah satu persamaan untuk memperoleh nilai variabel 
              lainnya yang belum diketahui (x atau y).

            3.    Metode Eliminasi 

                        Menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dari sistem 
            persamaan yang akan dicari himpunan penyelesaiannya.

           

            4.  Metode Campuran ( Eliminasi dan Substitusi )

                        Cara menentukan salah satu variabel x atau y dengan 
            menggunakan metode eliminasi. Hasil yang diperoleh dari x atau y 
            kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linear dua 
            variabel tersebut.

BILANGAN MATEMATIKA 

A.    PENGERTIAN 

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan

B.    JENIS – JENIS BILANGAN 
                     

            1.    Bilangan Kompleks

                       Bilangan kompleks adalah bilangan yang anggota - anggotanya 
            (a + bi) dimana a, b ϵ R, i²= -1. Dengan a bagian bilangan rill dan b 
            bagian dari bilangan imajiner.

      Contoh : K = { 2-3i, 8+2, …. }

      2.    Bilangan Imajiner

                 Bilangan imajiner adalah bilangan i (satuan imajiner) dimana 
      i adalah lambang bilangan baru yang bersifat i²= -1.

            Contoh : M = { i, 4i, 5i, ….. } 

      3.    Bilangan Rill 

                 Bilangan riil adalah bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk 
      desimal.

      Contoh : L = {5/8, log 10, …. }

                        4.  Bilangan Irasional 
                                  Bilangan irrasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat 
                             dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan 
                             rasional.

     Contoh : I = { √2, √3, √5, √6, √7, ….. }

     Keterangan tambahan: √4 = 2, berarti √4 bukan termasuk bilangan 
                                          irrasional.

      5.    Bilangan Rasional 
           Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk 
      a/b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.
      Contoh : R = {1/4, 3/4, …. }

      6.    Bilangan Pecahan 
           Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam 
      bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. 
      Bilangan a disebut sebagai pembilang dan bilangan b disebut sebagai 
      penyebut.
      Contoh : H = {1/3, 2/3, 1/8, 5/8, .….. }
      Keterangan tambahan: 4/2 = 2, berarti 4/2 bukan termasuk pecahan.

      7.    Bilangan Bulat 
          Bilangan Bulat adalah semua bilangan bukan pecahan. Bilangan 
      bulat terdiri dari bilangan nol, positif dan negatif.
      Contoh : Bilangan positif 1,2,3,4,5,6,7,… ,
                      Bilangan negatif …,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 
                      Bilangan nol “0”
     

      8.    Bilangan Negatif 
          Bilangan negatif adalah bilangan bernilai negatif.
     Contoh : N = { -3, -5, 1/4, …. }  
     Keterangan tambahan: -2/-3 = 2/3 berarti -2/-3 bukan termasuk 
     bilangan negatif.

      9.    Bilangan Cacah 
          Bilangan cacah adalah himpunan bilangan positif dan nol.
     Contoh : C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ….. }

     10.  Bilangan Nol 
          Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0).
     Contoh : N = { 0 }

     11.  Bilangan Asli 
          Bilangan asli adalah bilangan positif yang dimulai dari bilangan satu 
    ke atas.
    Contoh : A = { 1, 2, 3, 4, 5, ….. }

     12.  Bilangan Komposit  
          Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 dan 
    bukan termasuk bilangan prima.
    Contoh : K = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, ….. }

     13.  Bilangan Prima 
          Bilangan prima adalah bilangan yanga tidak dapat dibagi oleh 
    bilangan apapun, kecuali bilangan itu sendiri dan 1 (satu).
    Contoh : P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ….. }

     14.  Bilangan Genap 
          Bilangan genap adalah bilangan bilangan yang selalu habis dibagi 2.
    Contoh : E = { 2, 4, 6, 8, 10, ….. } 

     15.  Bilangan Ganjil 
          Bilangan ganjil adalah bilangan yang apabila dibagi 2 hasilnya 
    selalu tersisa 1 atau bilangan yang dapat dinyatakan dengan (2n – 1 )  
    dengan n = bilangan bulat.
    Contoh : G = {-3, -1, 1, 3, 5, 7, …. }