APLIKASI TURUNAN

A. GARIS SINGGUNG

Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garis singgung suatu kurva, maka materi ini pasti akan di temui jika sedang mengulas mengenai turunan.

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x₂,y₂) maka untuk mencari gradien garisnya m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

jika saling sejajar maka m₁=m₂
jika saling tegak lurus maka m₁.m₂=-1 atau m₁=-1/(m₂)

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x₁, y₁) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x₁). Sementara itu x₁dan y₁memiliki hubungan y₁= f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y₁= m (x – x₁).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan :

y - y₁= m (x - x₁)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan :

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?

3. Garis yang menyinggung kurva y = 12 – x4 dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

C. MAKSIMISASI ATAU MINIMISASI (MAXIMIZATION ATAU

MINIMIZATION) : A FREE OPTIMUM

A. Pengertian dan persyaratan Global maximum atau Global minimum, Relative maximum
atau Relaive minimum :

Dengan fungsi dari 1 ( satu ) independent variable y= f (x)
Dependent variable dari fungsi merupakan the objective function yaitu objek dari maksimisasi ( mazimization ) atau minimisasi ( minimization ).

Mazimization atau minimization menetapkan angka atau bilangan dari independent variables sehingga diperolah dari angka atau nilai the objective function atau dependent tertinggi ( maximum) atau terendah (minimum ). Karena itu, independent variables juga disebut sebagai choice variables.

Istilah :

Baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum (diagram di bawah).

lustrasi :

Extremums ( titik-titik ekstrim) fungsi y=f(x)

Titik E adalah a global ( absolute or free ) maximum, sedangkan titik G adalah local ( relative ) maximum

Titik F adalah a global minimum, sedangkan titik D adalah local minimum.

kurva diatas: dimana extremum fungsi y=f(x)

baik global maximum atau minimum, maupun relative maximum atau minimum, disebut extremum seperti contoh diagram diatas

Titik extremum disebut stationary point. sedangkan angka atau nilai extremum fungsi atau dependent variable atau the objective function disebut a critical value atau statinary value. Selain itu, the slope dari the objective pada titik extermum adalah 0 (nol)

Global (absolute) maximum adalah titik atau angka tertinggi dari the objective function atau dependent variable.

Sedangkan, global (absolute) minimum merupakan titik atau angka terendah.

Relative (local) maximum adalah titik atau angka maximum di sekitar titik itu pada the objective function. Sedangkan, relative (local) minimum adalah titik atau angka minimum di sekitar titik itu pada the objective function.

B. Persyaratan untuk extremum dan inflection point : Dengan fungsi dari 1 (satu)

independent (variable) y = f (x)

Catatan :

Titik M dan N pada Diagram 1.(c) di atas, tidak dapat dianggap extremum karena pada kedua titik itu fungsi g = s(u) tidak kontinyu sehingga tidak terdapat derivatif dari fungsi g. Titik infleksi (inflection point) adalah titik dimana tidak terdapat extremum (maximum atau minimum).

C. Penjelasan inflection point

Pada diagram di atas, titik J dan K disebut inflection point karena tanda slope tidak berubah dari

sebelum ke sesudah titik J atau K :

Pada digaram 2.(a), walaupun mempunyai fungsi f(x) derivatif pada titik J = 0 atau f∕= 0, yang juga digambarkan dengan slope pada titik J∕ = 0. Tetapi tanda slope atau derivatif f∕ tetap sama positif (slope +) baik sebelum dan sesudah titik J dan J∕. Padahal syarat titik J menjadi extremum, apabila tanda slope berubah dari sebelum ke sesudah titik extremum J. Apabila titik J minimum, maka tanda slope berubah dari negatif untuk sebelum titik J menjadi positif untuk setelah titik J. Atau sebaliknya, apabila titik J.
Pada Diagram 2. (b) di atas, derivatif atau slope fungsi g(x) pada titik K tertinggi maximum (tidak sama dengan 0 (nol)) seperti terlihat pada titik K∕. Tetapi slope atau derivatif atau f∕ s sebelum titik K naik (+) tajam dan setelah titik K tetap naik (+) tetapi dengan melandai atau menurun.